95、密度矩阵（1 / 2）

1927年冯·诺依曼与朗道各自独立的提出了量子论中密度矩阵的概念，最终应用这一概念实现了统计热力学的量子化。在传统观念中，描述系统状态的是波函数，但是在大多数情况下，尤其是在热力学系统中，系统与外界的相互作用往往不能忽略，这使得我们无法使用波函数描述的纯态理解系统。而这类系统的状态一般可以用大量纯态按照一定的概率混合状态描述。

我们知道，多个纯态按照概率幅叠加得到的仍然是纯态，可以用希尔伯特空间中的向量描述，而这种通过多个纯态按概率混合的状态称为混合态，需要用密度矩阵描述。也就是说，现实中我们接触到的绝大多数量子系统实际上是用密度矩阵描述的混合态。

量子论一经提出，就有人试图将经典热力学量子化，例如玻色-爱因斯坦统计、费米-狄拉克统计、爱因斯坦和德拜关于固体比热的讨论等等，但是没有从根本上实现整个热力学体系的量子化，密度矩阵概念实现了这一目标。

将密度矩阵概念应用于热力学系统，可以将经典统计理论中的配分函数量子化，从而对经典的热力学进行相应的量子修正，使经典统计理论平滑的过渡到量子统计力学之中。当所要讨论的对象不是孤立系统，而是与外界存在能量或物质交换时，用密度矩阵方法仍然可以对系统进行描述与计算。

密度矩阵对角线上元素的和为1，既可以描述纯态，也可以描述混合态，当系统处于纯态时，密度矩阵平方的对角线元素和也是1，但是混合态的这个值则小于1。密度矩阵方法给我们提供了一套描述非孤立系统的精确的数学方法，使我们可以突破波函数的框架，针对更广泛，更实用的物理系统讨论它们的热力学性质。

我们知道，讨论量子体系的测量过程必须要将观察者包含进去，而观察者必须要与体系相互作用才能够感知到测量结果，这使得许多量子体系具有这样的特点：将观察者包含进来的整个体系是个孤立系统，处于纯态之中，而如果从观察者的角度分析这个量子体系，则处在混合态之中，需要应用密度矩阵才能精确的理解它。这种现象说明观察者与被测量的量子体系是一个统一的不可分割的整体，而混合态的出现是人为将一个整体割裂为两部分导致的，因此混合态与相应的密度矩阵是一种人为的产物，是为了将部分从整体中割裂出来分析而产生的数学工具。